Exom >> Sven's stuff >> Problemchen:
	Fallunterscheidungen und der Beweis per Widerspruch
		- ein beliebtes Mittel, immer einggesetzt wenn man nicht mehr weiter weiß. Voraussetzung dafür ist natürlich, daß sich das Problem in eine endliche Anzahl (möglichst wenige) von Möglichkeiten eindeutig aufspalten lässt. Von den vielen Möglichkeiten (Fällen) kann nur eine eintreten. Sodann betrachtet man alle Fälle einzeln, nimmt zuerst ihre Wahrheit an und versucht dann Schlußfolgerungen zu ziehen. Gelingt es, einen Widerspruch zu den Annahmen oder Voraussetzungen oder mathematischen Gesetzen zu konstruieren, so ist die Annahme der Fall gälte, widerlegt. Ganz einfaches Beispiel zum Widerspruchsbeweis: Behauptung: Es gibt eine Zahl n, für die gilt n=n+1. Die Behauptung stimmt natürlich nicht. Beweis: Angenommen die Behauptung stimmt, und es gilt n=n+1, so folgt 0=1 durch Subtraktion von n. Widerspruch! Wenn die Behauptung positiv formuliert ist (doch die Regel) muß sie erst negiert werden. 2. Supereinfaches Beispiel: Behauptung: Für alle Zahlen n gilt n kleiner n+1 Beweis: Angenommen es gibt eine Zahl n mit n größer oder gleich n+1. (Das ist das Gegenteil) Dann folgt durch Subtraktion von n: 0 größer 1, Widerspruch! (Das Gegenteil gilt also nicht.) einfacher wäre es in diesem Beispiel direkt gegangen: durch Subtraktion von n auf beiden Seiten folgt 0 kleiner 1, und das stimmt. Wo war in diesem Beispiel die Fallunterscheidung? Ganz einfach, entweder die Behauptung gilt (Fall 1), oder sie gilt nicht (Fall 2).
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		Direkt email an Sven:				www.exom.de rev. März 2005